万物的开始:Riemann积分

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0. 一切的开始:「黎曼积分」

在现代数学体系里, 「微积分」是及其重要的组成部分, 而积分又由不定积分和定积分组成, 后者又被称作「黎曼积分」(Riemann integral)。微积分发展至今, 黎曼将柯西只对连续函数定义的积分概念扩张成黎曼积分, 扩大了积分的应用范围, 黎曼积分也首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。

0.1 黎曼积分定义

设函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义

$\rm \textbf{Definition 0.1.1}$ 如果点集 $P=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$ 满足 $a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$ , 则称 $P$ 为 $[a,b]$ 的一个分划. 设 $\Delta x_i = x_i-x_{i-1},i=1,2,\cdots,n$ , 则称 $||P|| = \max\limits_{1\le i\le n} \{\Delta x_i\}$ 为分划 $P$ 的细度 . 如果 $\Delta x_i=\frac{b-a}{n},i=1,2,\cdots,n$ , 则称 $P$ 为等距分划

$\rm \textbf{Definition 0.1.2}$ 设 $P$ 是区间 $[a, b]$ 的一个分划, 对每个子区间 $[x_{i-1},x_i]$ , 任取 $\xi_i\in [x_{i-1},x_i]$ , 则称 $\xi = \{\xi_i|i=1,2,\cdots,n\}$ 为从属于 $P$ 的一个介点集; 并称和式 $\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$ 为 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上的一个Riemann和.

$\rm \textbf{Definition 0.1.3}$ 设 $I$ 为实数, 且有 $\lim\limits_{||P||\to 0}\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i = I$ , 即 $\forall \varepsilon >0$ , $\exists \delta > 0$ , 对 $||P||<\delta$ 的每个分划 $P$, 以及对从属于 $P$ 的每个介点集 $\xi$ , 成立 $|\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i - I|<\varepsilon$ , 则称函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上Riemann可积或简称可积, 记为 $f\in R[a,b]$ . 并称 $I$ 为 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上的Riemann积分或定积分, 简称积分, 记为 $\int_a^b f = I$ .

0.2 黎曼可积条件

$\rm \textbf{Definitions 0.2.1}$ 设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界, $P$ 为 $[a,b]$ 的一个分划, 对 $i=1,2,\cdots,n$ , 记

$\begin{align*} M_i &= \sup\{f(x)|x\in [x_{i-1},x_i]\}\\ m_i &= \inf\{f(x)|x\in [x_{i-1},x_i]\}\\ \end{align*}$

称 $w_i = M_i-m_i$ 为 $f$ 在 $[x_{i-1},x_i]$ 上的振幅, $\sum\limits_{i=1}^n w_i\Delta x_i$ 为 $f$ 的振幅面积.

$\rm \textbf{Proposition 0.2.1}$(可积的第一充要条件): 有界函数 $f\in R[a, b]$ 的充分必要条件是

$\begin{align} \lim_{||P||\to 0}\sum_{i=1}^n w_i \Delta x_i = 0 \end{align}$

$\rm \textbf{Proposition 0.2.2}$(可积的第二充要条件): 有界函数 $f\in R[a, b]$ 的充分必要条件是对每个 $\varepsilon > 0$ , 存在区间 $[a,b]$ 的一个分划 $P$ 使得

$\begin{align} \sum_{P}w_i\Delta x_i< \varepsilon \end{align}$

$\rm \textbf{Proposition 0.2.3}$(可积的第三充要条件): 有界函数 $f\in R[a, b]$ 的充分必要条件是 $\forall \varepsilon, \eta >0$, 存在 $[a,b]$ 的分划 $P$ , 使振幅不小于 $\eta$ 的子区间的长度之和小于 $\varepsilon$ .

利用定级分定义以及三个充分必要条件可以得到一些推论:

设 $f\in R[a, b]$ , 则 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界
设 $f\in C[a, b]$ , 则 $f\in R[a, b]$
设 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界且只有有限个间断点, 则 $f\in R[a, b]$
设 $f$ 在 $[a, b]$ 上单调, 则 $f\in R[a, b]$

写一下第一个结论的证明。

$\rm \textbf{Corollary 0.2.1} \quad \textbf{Proof}.$ 记 $\int_a^b f = I$ , 由定积分定义知, 对于 $\varepsilon = 1$, 存在一个分划 $P$ , 使得对于从属于这个 $P$ 的任何介点集 $\xi$ 均成立

$\left|\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i - I\right| < 1$

对于确定的子区间 $[x_{i-1},x_i]$ , 固定所有的 $\xi_k$($k\ne i$) 对 $f(\xi_i)$ 作出如下估计

$\frac{1}{\Delta x_i}(I-1-\sum_{k\ne i}f(\xi_{k}\Delta x_k)) < f(\xi_i)<\frac{1}{\Delta x_i}(I+1-\sum_{k\ne i}f(\xi_k)\Delta x_k)$

由于 $\xi_i \in I_i = [x_{i-1},x_i]$ 的任意性, 可得 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界.

0.3 黎曼积分的缺陷

即时在有界函数范围内, 黎曼积分依旧存在着很大的缺陷。主要表现为以下两个方面:

黎曼积分与极限可交换的条件太强

为了使

$\int_{a}^{b} \lim_{n\to \infty} f_n(x)dx = \lim_{n\to \infty}\int_{a}^{b}f_n(x)dx$

对一列收敛的黎曼可积函数 $\{f_n(x)\}$ 成立, 需要满足 $f_n(x)$ 一致收敛.

积分运算不完全是微分运算的逆运算

一方面, 任意一个黎曼可积的函数 $f(x)$ 的变上限积分 $F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt$ 的所有连续点都有 $F’(x) = f(x)$ , 即积分之后再微分可以还原。

另一方面, 一个可微函数 $F(x)$ 的导函数 $f(x)$ 即时有界也不一定黎曼可积, 也就无法成立 Newton-Leibniz 公式。

为了改进黎曼积分的缺陷, 勒贝格基于可列可加的测度引入了一种新的积分——勒贝格积分。为了引入测度, 先从集合开始。

1. 从集合出发

1.1 集合的定义

$\rm \textbf{Definitions 1.1.1}$ 以某种方式给定的一些事物的全体称为一个集合(简称为集), 集中的成员称为这个集的元素。

$\rm \textbf{Definitions 1.1.2}$ 设 $A$ 和 $B$ 是两个集, 如果 $A$ 和 $B$ 具有完全相同的元素, 则称 $A$ 和 $B$ 相等, 记为 $A=B$ ; 如果 $A$ 的元素都是 $B$ 的元素, 则称 $A$ 为 $B$ 的子集, 记为 $A\subset B$ , 若 $A\subset B$ 且 $A\ne B$ 则称 $A$ 为 $B$ 的真子集。

由定义1.1.2可知, $A=B$ 当且仅当 $A\subset B$ 且 $B\subset A$ , 这也是证明两个集合相等最常用的方法。

$\rm \textbf{Definitions 1.1.3}$ 设 $X$ 是一个给定的集, 由 $X$ 的所有子集构成的集称为 $X$ 的幂集, 记为 $\mathcal{P}(X)$ . 一般地, 若 $X$ 是由 $n$ 个元素构成的集, 则 $X$ 有 $2^n$ 个不同的子集.

1.2 集合的运算

设 $I$ 是一非空集, 若对每个 $\alpha\in I$ 都对应一个集 $A_{\alpha}$ , 则称 $\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in I}$ 为集族, 称 $I$ 为指标集. 特别地, 若指标集是自然数集 $N$ , 则称 $\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in N}$ 为集列, 简记为 $\{A_n\}$ .